Question

谁能帮我证明一个高等数学的题？惠更斯钟摆的证明。

问题内容：惠更斯（Christian Huygens）在研究钟摆时发现：给定一条摆线，其参数方程为x=rθ-rsinθ,y=-r+rcosθ,其中-π<θ<π

取 点为摆线的弧所夹成的尖点，若把一个质点用长度为 的细线垂挂于 点，并使它在摆线的夹逼下摆动，则 点的运动轨迹仍是摆线，且这种摆的周期与摆幅无关， 。由于这种摆具有良好的等时性，被广泛地应用于钟表制造业。这种摆被称为惠更斯摆。请推导出惠更斯的上述结论。

Answer 1

微元法，成立条件：摆幅非常小，相对于摆线长度（半径r）可以忽略不计
这样钟摆就在X轴上运动，受力F=k*x k=mg/r 因为 F=m*a
所以 a=x*g/r （1）
a 为 x相对于t的二次导数（加速度是位移相对于时间的二次导数，牛顿的定义） （2）

（1）（2）联立得到关于x的二次常微分方程，解得
x=Asin【sqr（g/r）t + C】 （3）
其中sqr（g/r）为g/r的平方根，A和c为待定常量需要初始条件界定，A为振动的幅度
从（3）可以看出这是个周期运动，运动周期为 2*pi / sqr（g/r）

再次说明注意前提条件：摆幅非常小，相对于摆线长度（半径r）可以忽略不计，这样才可以使用微元法