Question

有关三角函数的数学题求高人解答

函数y=cos a * (sin a)^2
a在0~90度之间求y的最小值
!!!是最大值 = = 昨天好像打错了
我是高中生，不能用求导。0和90是开区间，不能取

Answer 1

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用求导会简单很多，不求导的方法，加好评哦。

方法要麻烦很多，要用到三个数的平均值不等式。

即abc<=[(a^2+b^2+c^2)/3]^(3/2);

注意它的形式。

y=cosa*sina*sina=√[1-(sina)^2]*(sina/√2)*(sina/√2)*2

<={[1-(sina)^2+(sina/√2)^2+(sina/√2)^2]/3}^(3/2)*2

=2/3*sqrt(1/3)。

这些式子太多了，不好写。

当1-(sina)^2=(sina/√2)^2, sina=sqrt(2/3),cosa=sqrt(1/3)取等号。

结果是一样的

参考 平均值不等式 w e k i a p e d i a。

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y=cos a * (sin a)^2 =cosa*(1-cosa^2);

x=cosa;

y=x-x^3;

求导，y'=1-3x^2;

先增后减，分界点是x=sqrt(1/3);
最大值是，当cosa=sqrt(1/3);

y=sqrt(1/3)*2/3;

因y>=0;
当a=0;or 90

有最小值y=0

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Answer 2

y最小为0；
y=cos a * (sin a)^2=cos a*[1-(cos a)^2]=(cos a)*(1-cos a)*(1+cos a),画出大致图像知，当0<=cos a<=1时，总有y>=0.所以y最小为0，此时a=0°或90°

Answer 3

因为0°≤a≤90°,所以,0≤sina≤1,0≤cosa≤1,从而0≤cosa* (sin a)^2≤1，当且仅当a=0°或a=90°时,y取最小值0。所以，y的最小值是0。