Question

代数，快，需要初等方法

x=根号1＆sup-1+根号2＆sup-1+根号3＆sup-1+……+根号100＆sup-1
求证：18＜x＜19

注：根号100＆sup-1=根号下一百分之一

Answer 1

s（n）表示根号下n
证明：
先证明左边：
1/s(n)=2*【1/(2s(n))】
>2*【1/(s(n)+s(n+1)）】
=2*【s(n+1)-s(n)】

所以原式大于2*【(s(2)-s(1))+(s(3)-s(2))+…(s(101)-s(100))】
=2*【s(101)-1】
>2*【s(100)-1】=18
左边证毕；

再证明右边：
当n>1时：
容易知道：s(n+1)-s(n)<s(n)-s(n-1)
所以：2s(n)>s(n+1)+s(n-1)
进一步：1/s(n)<2/【s(n+1)+s(n-1)】=s(n+1)-s(n-1)
于是有：
原式<1+(s(3)-s(1))+(s(4)-s(2))+(s(5)-s(3))+
…+(s(100)-s(98))+(s(101)-s(99))
=s(101)+s(100)-s(2)-s(1)+1
=s(101)+s(100)-s(2)
<19
右边证毕