Question

过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程

老师讲这个的时候只和我们说第一个式子是0,第2个式子也是0,加起来再乘个常数也是0.
所以过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系的方程可设为：λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ、μ为任意实数。
为什么可以这么设啊?代数上我想得通,但是从图形来讲怎么解释啊?
为什么乘个常数相加就可以表示过它们交点的那些直线了啊?

Answer 1

lz可以这样想，两条直线的交点必然满足直线方程（代入方程等式成立），也就满足直线系方程，不管λ、μ为多少，直线系方程所表示的直线必然过上述的交点。

Answer 2

从几何意义上来讲， 任意直线λy=λ(Kx+c)等价于y=Kx+c,即：A1x+B1y+C1=0等价于λ(A1x+B1y+C1)=0，这不过是一个代数的技巧问题，方便我们解决实际问题而已

Answer 3

把直线用点斜式表示出来。
比如过x0，y0的直线，可以写成(y-y0)=k(x-x0)
所以两条直线显然是(y-y0)=k1(x-x0)和
(y-y0)=k2(x-x0)。
现在要表示另一条直线，那条直线也肯定满足
(x-x0)=k3(y-y0),并且所有过x0,y0的直线都能通过这个方程表示出来！
我们把那两条直线加一个λ得：
(1+λ)(y-y0)=k1(x-x0)+λk2(x-x0)
对于任意的k3，我们都能求出唯一的λ，而对于任意的λ，我们也只能算出一个k3!

Answer 4

把直线用点斜式表示出来。
比如过x0，y0的直线，可以写成(y-y0)=k(x-x0)
所以两条直线显然是(y-y0)=k1(x-x0)和
(y-y0)=k2(x-x0)。
现在要表示另一条直线，那条直线也肯定满足
(x-x0)=k3(y-y0),并且所有过x0,y0的直线都能通过这个方程表示出来！
我们把那两条直线加一个λ得：
(1+λ)(y-y0)=k1(x-x0)+λk2(x-x0)
对于任意的k3，我们都能求出唯一的λ，而对于任意的λ，我们也只能算出一个k3!

Answer 5

因为设焦点为X1,Y1所以A1X1+B1Y1+C1=0
A2X1+B2X1+C2=0
所以A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)
当λ为任意值是均会成立。随λ的变化，这个直线也就可以表示所有过焦点的方程了