Question

以下是一个数列,第一项是1,第二项是4,以后每一项都是前两项的乘积。求第2004项被7除的余数。

Answer 1

a1被7除的余1

a2被7除的余4

a4被7除的余(4*4)2

a5被7除的余(4*2)1

a10被7除的余(1*4)4

a11被7除的余(1*4)4

8项以后开始重复，2004/8=250余4

第2004项被7除的余数2

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

Answer 2

a1被7除的余1
a2被7除的余4
a3被7除的余4
a4被7除的余(4*4)2
a5被7除的余(4*2)1
a6被7除的余(1*2)2
a7被7除的余(1*2)2
a8被7除的余(2*2)4
a9被7除的余(2*4)1
a10被7除的余(1*4)4
a11被7除的余(1*4)4
8项以后开始重复，2004/8=250余4
第2004项被7除的余数2

Answer 3

a1=1=4^0,a2=4^1,a3=4^1,a4=4^2,...
它的指数构成Fibonacci数列{Fn}={F0=0,F1=1,F2=1;2,3,5,8,13,21,...}
a(2004)=4^F2003.

题意即求4^F2003 mod 7.
由费马小定理易知
4^F2003 mod 7.
==4^(F2003 mod 6) mod 7.

{Fn mod 6}
=={0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1；0,1,1,...}
循环周期是24.
2003 mod 24=11.
故F2003 mod 6==F11 mod 6==5
故4^F2003 mod 7==4^5 mod 7==1024==-1+24==2
即此题解为2