Question

讨论函数f（x）=x+a/x（a>0）的单调性

此函数式是如何通过求导推出递增和递减空间的？
要详细过程

Answer 1

f（x）的倒数 为 1-a/x²
=(x²-a)/x²

令导数=0
x=±√a
当x ∈（0,√a]，导数小于0，函数单调递减
当x >√a,导数大于0，函数单调递减

有因为f（x）=-f（-x）
函数为奇函数
对应到 x<0
在（-∞，-√a）递增，[-√a,0)递减

所以f（x）在
（-∞，-√a），（√a，+∞ ）递增，
[-√a,0)，（0，√a]递减

Answer 2

f（x）=x+a/x= x+ax^(-1)，定义域为x≠0
对函数求导得
f’（x）=1+(-1)ax^(-2)=1-a/x^2

令f’（x）>0来求原函数的递增区间，有
1-a/x^2>0解不等式得
x<-√a或x>√a

令f’（x）<0来求原函数的递减区间，有
1-a/x^2<0解不等式得
-√a<x<0或 0<x<√a

综上所述，原函数在x<-√a或x>√a时单调递增；在-√a<x<0或 0<x<√a时单调递减。