Question

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD交BD于点E交BC于点F连接DF求证∠ADB=∠CDF

Answer 1

作CE⊥AC,交AF的延长线于M。
∵AF⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE=90度。
∵∠BAC=90度，
∴∠EAD+∠EAB=90度。
∴∠DAE=∠ABE。
在△ACM和△BAD中，∠DAE=∠ABE，AC=AB，∠ACM=∠BAD=90度。
∴△ACM全等△BAD，
∴∠M=∠ADB，AD=CM。
∵AD=DC，∴CM=CD。在△CMF和△CDF中，CF=CF，∠MCF=∠DCF=45度，CM=CD。
∴△CMF全等△CDF，
∴∠M=∠CDF，
∴∠ADB=∠CDF。

Answer 2

证明：
作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAE
∵AB=AC，∠C=∠BAG=45°
∴△ABG≌△CAF
∴AG=CF
∵∠C=∠DAG=45°，DA=DC
∴△DAG≌△DCF
∴∠ADB=∠CDF