如图,AD‖BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点E在DC上,求证AD+BC=AB 10
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证明:延长BE交AD的延长线于点F
∵AD∥BC
∴∠F=∠4 ∠FDC=∠C
∵∠3=∠4
∴∠F=∠4
∴AB=AF
∵∠1=∠2,AE=AE
∴△ABE≌△AFE (SAS)
∴BE=EF
∴△BCE≌△FDE (AAS)
∴DF=BC
∵AD+DF=AF
∴AD+BC=AF
∴AD+BC=AB
∵AD∥BC
∴∠F=∠4 ∠FDC=∠C
∵∠3=∠4
∴∠F=∠4
∴AB=AF
∵∠1=∠2,AE=AE
∴△ABE≌△AFE (SAS)
∴BE=EF
∴△BCE≌△FDE (AAS)
∴DF=BC
∵AD+DF=AF
∴AD+BC=AF
∴AD+BC=AB
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证明:
方法一:
在AB上截取AM=AD,连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE=∠MAE=∠DAB/2
又因为AE=AE
所以△DAE≌△MAE(SAS)
所以∠DEA=∠MEA,MA=DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE=∠CBE=∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB+∠CAB=180°
所以∠ABE+∠EAB=90°
所以∠BEA=90
所以∠MEA+∠MEB=90°,∠DEA+CEB=90°
所以∠MEB=∠CEB
又因为BE=BE
所以△BCE≌△BME(ASA)
所以MB=CB
所以AB=MB+MA
即AD+BC=AB
方法二:
延长AE与BC的延长线交于F
因为DA//CB
所以∠DAF=∠F
因为AE平分∠CAB
所以∠DAF=∠ABF
所以∠ABF=∠F
所以AB=BF
因为BE平分∠CAB
所以根据“三线合一”性质得AE=FE
(实际上还能得到BE⊥AF,这也是方法一中证明的一个结论,但证法不同)
因为∠DEA=∠CEF
所以△DAE≌△CFE(AAS)
所以DA=CF
所以AB=BF=CB+CF=DA+CB
所以AD+BC=AB
方法三:
取AB的中N,连接EN
证明E是中点后,EN就是中位线,
所以2EN=AD+BC,
而△DEC是直角三角形(BE⊥AE上面已经证明)
则EN是斜边AB上的中线,所以2EN=AB
所以AD+BC=AB
方法一:
在AB上截取AM=AD,连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE=∠MAE=∠DAB/2
又因为AE=AE
所以△DAE≌△MAE(SAS)
所以∠DEA=∠MEA,MA=DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE=∠CBE=∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB+∠CAB=180°
所以∠ABE+∠EAB=90°
所以∠BEA=90
所以∠MEA+∠MEB=90°,∠DEA+CEB=90°
所以∠MEB=∠CEB
又因为BE=BE
所以△BCE≌△BME(ASA)
所以MB=CB
所以AB=MB+MA
即AD+BC=AB
方法二:
延长AE与BC的延长线交于F
因为DA//CB
所以∠DAF=∠F
因为AE平分∠CAB
所以∠DAF=∠ABF
所以∠ABF=∠F
所以AB=BF
因为BE平分∠CAB
所以根据“三线合一”性质得AE=FE
(实际上还能得到BE⊥AF,这也是方法一中证明的一个结论,但证法不同)
因为∠DEA=∠CEF
所以△DAE≌△CFE(AAS)
所以DA=CF
所以AB=BF=CB+CF=DA+CB
所以AD+BC=AB
方法三:
取AB的中N,连接EN
证明E是中点后,EN就是中位线,
所以2EN=AD+BC,
而△DEC是直角三角形(BE⊥AE上面已经证明)
则EN是斜边AB上的中线,所以2EN=AB
所以AD+BC=AB
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