Question

在矩形ABCD中,M是AD中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:角QNM=角MNP

想了很久还是想不出来，看起来是很简单。。但很多三点共线的问题证不出来。。。请哪位强人帮帮忙呀！

Answer 1

不会。

Answer 2

我有两种办法：
①梅涅劳斯定理：
延长NQ和BA交于E点由于PMN三点共线，它是关于△ACD的梅氏线，故有
AM/MD*DP/PC*CQ/QA=1,即DP/PC=AQ/QC
又EQN三点共线，它是关于△ABC的梅氏线，故有
AE/EB*BN/NC*CQ/QA=1,即AE/EB=AQ/QC=DP/PC
所以EP两点关于直线MN对称，
即∠PNM=∠ENM=∠QNM
②解析法：
以B为原点，BC,BA为X,Y轴建立直角坐标系
设A(0,a),C(b,0),P(b,c),
则PM:by=2(c-a)(x-b)+bc (由两点式可得)
AC:ax+by=ab (由截距式可得）
联立得:Q(b(c-a)/(a-2c),ac/(2c-a))
故K(QN)=…(此处不赘)…=-2c/b
又K(PN)=c/(0.5b)=2c/b=-K(QN)
所以∠PNM=∠QNM

这道题在数学竞赛中算简单题，平面几何要多练，多掌握一些基本结论，做题时便能得心应手

我是个数学爱好者，以后有什么竞赛题找我，咱两一起切磋
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