Question

两道高等数学求极限的题盼高手帮忙解答~~谢谢！

1.当x→0时，{[(2+cosX)/3]＾x-1}/x＾3
2.当x→0时，xlnx/(1-cosx)
第一题我用的是洛必达，设y={[(2+cosX)/3]＾x 两边先ln，再求导，然后代换回去，但是越代越糊涂，望高手解答~~~
第二题求不出，我用洛必达解不出，感觉哪里有点不对。

Answer 1

1）很简单，用等价，不能用罗比达啊。根本就不符合使用条件，求出来是错的，偶尔和答案一样，只要不是选填题，过程也会把分扣光光。等于-1/6。看图，看懂每一步。求导很繁琐，一般就算符合条件，我也很少使用，只有实在做不出来才罗比达一下下~

2）极限不存在，过程和第一题是一个道理，等价后是：lim 2lnx/x，分子趋于无穷（因为x不一定左右趋近，既有可能+无穷，又可以是－无穷），分母趋于零 。这是没有极限的。

还有个可能，你题目抄错了，不存在还让你求什么？

你检查下题目，详细的再说。

Answer 2

1、直接用洛必达法则太麻烦，结合等价无穷小
[(2+cosX)/3]^x－1＝e^[xln((2+cosx)/3)]－1 等价于 xln((2+cosx)/3)。
ln((2+cosx)/3)＝ln[1＋(cosx-1)/3)] 等价于 (cosx-1)/3
1-cosx 等价于 1/2×x^2

所以，原式＝lim (x×1/3×(-1/2×x^2))/x^3＝－1/6

2、极限是∞。用洛必达法则后，原式＝lim (1+lnx)/sinx ，分子的极限是∞，分母的极限是0

Answer 3

1.洛必达有条件 分子分母必须都是0或无穷
y={[(2+cosX)/3]＾x ，lny=xln(2+cosX)/3
两边求导 y'/y=ln(2+cosx)/3-3xsinx/(2+cosx)
y'=（ln(2+cosx)/3-3xsinx/(2+cosx)）*({[(2+cosX)/3]＾x )
原式=洛必达法则=y'/3x^2=[（ln(2+cosx)/3-3xsinx/(2+cosx)）/3x^2]*({[(2+cosX)/3]＾x )
其中第二部分等于1，第一部分（ln(2+cosx)/3-3xsinx/(2+cosx)）/3x^2=[ln(2+cosx)/3]/3x^2-3xsinx/（3x^2(2+cosx)）分两部分分别洛必达
ln(2+cosx)/3]/3x^2=(-2sinx/(2+cosx))/6x=-1/6
-3xsinx/（3x^2(2+cosx)）=-1/3
综合 原式=-1/2
2.cosx=1-2sin^2(x/2),x->0,1-cosx~x^2/2
原式=lim xln/(x^2/2)=2lnx/x,当x>0,负无穷，x<0无解