Question

求高人帮忙，问几道关于排列组合概率的问题

1. 一共有N个人，想要组成一个圆圈，要求A和B两个人要挨在一起，问概率是多大
2. 4对夫妇站成一排，求夫妻之间不能挨在一起的概率

对不起我刚注册还没有积分，但是还是希望大家能帮助我。谢谢大家！！！！

Answer 1

第1题答案是2/(N-1)

若“经过旋转可相同的坐法”被认为是同一种坐法：
总坐法：(N-1)!
其中AB相邻的坐法：2*(N-2)!

若“经过旋转可相同的坐法”不被认为是同一种坐法：
总坐法：N!
其中AB相邻的坐法：N*2*(n-2)!

概率都是2/(N-1)

（当然严格的说这是N>2的情况，因为只有当N>2时“B在A左”和“B在A右”才会不同。而当N=2，显然这个概率是1）

说一下楼上的答案2/N为什么比正确答案小了：楼上的算法和答案恰好是“N个人坐成一排，A和B两个人相邻的概率”。

为什么在相同的要求下，“一排”比“一圈”的概率要小呢？是因为当把这一排首尾相连变成一圈时，在一排中AB不相邻的坐法却可能成为在一圈中AB相邻的坐法——这就是AB分别坐在这一排第一个和最后一个的情况。

题目做完可以用较小的N来检验一下：

当N=3，容易想到，ABC三个人无论怎么坐成一圈，A和B一定相邻，所以概率是1

第2题解法：

记4对夫妻依次为甲乙丙丁

一、4对都相邻
记为K4种
K4=2*2*2*2*4!

二、仅3对相邻
记仅甲乙丙相邻为K3种
K3=2*2*2*5!-K4
仅3对相邻共4*K3种

三、仅2对相邻
记仅甲乙相邻为K2种
K2=2*2*6!-2*K3-K4
仅2对相邻共6*K2种

四、仅1对相邻
记仅甲相邻为K1种
K1=2*7!-3*K2-3*K3-K4
仅1对相邻共4*K1种

计算4对都不相邻的种数Ko
Ko=8!-4*K1-6*K2-4*K3-K4
依次将K1 K2 K3 K4 代入，最后得到
Ko=8!-4*2*7!+6*2*2*6!-4*2*2*2*5!+2*2*2*2*4!

（事实上“Ko=8!-4*2*7!+6*2*2*6!-4*2*2*2*5!+2*2*2*2*4!”这个算式可以从“容斥原理”直接得到，如果题目不是4对夫妇而是较大的数目，上述那样分步计算就很慢，但是容斥原理不容易解释清楚，这里就分步计算了，本质是相同的）

最终答案概率为Ko/(8!)=12/35

Answer 2

1，你可以把A B捆绑起来看成一个人和其他人一起排列。那总共有这么多种可能：（N-1个人排列）*（a b排列）=（N-1）!*2
而，所有人 任意排列总共有N！种可能
所以最后，概率是 2/n
（ps，我是把题目理解成，b站在a的左边和右边是不一样的情况）
2，总共排列有 8！种可能
为了求不在一起的，我们可以先求在一起的。在一起的意思，只要有一对夫妇站在一起，其他夫妇有没在一起就可以不管了
有 (4对取1对)（夫妻排列）（捆绑的夫妻和另外6人随意排列）=4*2*7！（这里面数量重复了，下次过来算。）
所以 夫妻站在一起的概率是。。。。。。
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晕，做错了，下回再来做吧。

Answer 3

1.这题可以理解成把这个圈拉直他们在两端，则中间的人自由排列，结果是，（n-2）！/n！