Question

已知圆A:x^2+y^2+2x+2y-2=0,圆B平分A的周长

且圆B的圆心在直线l：y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B方程！

Answer 1

圆B平分A的周长
则圆B与圆A的两交点的连线为圆A的直径

设圆B的圆心为（x,2x）
圆A方程为(x+1)^2+(y+1)^2=4，圆心（-1，-1），半径2

圆B的半径、圆A的半径、以及两圆心之间的距离，构成直角三角形，满足勾股定理
所以，圆B的半径：R^2=(x+1)^2+(2x+1)^2+4=5x^2+6x+6=5(x+3/5)^2+21/5
即，当x=-3/5时，R^2有最小值=21/5
此时圆B的圆心为（-3/5，-6/5）
方程为：(x+3/5)^2+(y+6/5)^2=21/5

Answer 2

在圆A上任取直径，则直径的两端点可看作是两圆交点
在此直径上做垂线，则垂线与已知直线的交点即为圆B圆心
当两圆心距离最小时，所求圆B半径最短
此时，两圆心连线垂直于已知直线y=2x
解得圆B方程(x+3/5)^2+(y+6/5)^2=21/5