Question

椭圆第一象限切线求法，导数

知道椭圆上一个点，就应该能求出通过该点、与椭圆相切的直线斜率，我知道有求方程角唯一的方法，我想知道用导数怎么求

Answer 1

如果你是高中水平,我可以负责任地告诉你,不用导数完全可以.

椭圆标准方程:
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
设椭圆上有任意一点A(m,n),
将坐标系沿y方向缩放到原来的a/b倍,
椭圆方程变成了:
x^2/a^2+y^2/a^2=1,即
x^2+y^2=a^2,即变成了圆的方程.
A点坐标变成了A(m,an/b),

过标准圆上任意一点(c,d)的半径方程的斜率为:
k=d/c,
切线垂直于半径,所以切线方程的斜率为:
k=-c/d,
代入A(m,an/b),得
圆的切线斜率k=-m/(an/b),
然后再将坐标系沿y方向缩放到原来的b/a倍,
切线斜率变为k=-m/(an/b)*b/a=-(b^2 m)/(a^2 n).

所以如果只看结果,不管过程,可以直接说:
椭圆标准方程:
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
过椭圆上有任意一点A(m,n)且与椭圆相切的直线斜率
k=-(b^2 m)/(a^2 n).

如果你用导数的办法来求,可以这样求,
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
两边各项分别对x求导数得:
2x/a^2+2yy'/b^2=0,
于是y' = -(b^2 x)/(a^2 y).
y'即为椭圆在(x,y)处的切线的斜率.
代入x=m,y=n,得切线的斜率:
k=-(b^2 m)/(a^2 n).