Question

已知BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,

已知BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,且CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）AP垂直于AQ

Answer 1

1、在△AEC和△ADB中，∠BAC是公共角，△AEC和△ADB中有一个角是直角（已知），所以
△AEC∽△ADB，所以∠ABD=∠ACE
在△ABP和△QCA中，∠ABD=∠ACE（已证），BP=AC（已知）CQ=AB（已知）
所以△ABP≌△QCA，所以AP=AQ（对应边相等）
2、△ABP≌△QCA，所以∠QAC=∠APB

Answer 2

证明：
1、在△AEC和△ADB中，∠BAC是公共角，△AEC和△ADB中有一个角是直角（已知），所以
△AEC∽△ADB，所以∠ABD=∠ACE
在△ABP和△QCA中，∠ABD=∠ACE（已证），BP=AC（已知）CQ=AB（已知）
所以△ABP≌△QCA，所以AP=AQ（对应边相等）
2、△ABP≌△QCA，所以∠QAC=∠APB，
在△ADP中∠ADP=90度，∠PAC=90-∠BPA，∠QAC=∠BPA（已证）
∠QAP=∠QAC+∠PAC=∠QAC+90-∠BPA=90，所以AP垂直AQ