Question

已知a>0,b>0,c>0,且a+ b+ c=1/abc,求（a+ b)(b+ c)的最小值

Answer 1

a + b + c = 1 / (a b c) ,
所以 ab + b^2 + bc = 1 / (a c) ,
所以 (a + b) (b + c) = a b + b c + b^2 + a c = 1 / (a c) + a c ,
因为 a > 0 , c > 0 ,
所以 (a + b) (b + c) = 1 / (a c) + a c ≥ 2 √[1 / (a c) * a c] = 2 ,
当且仅当 (a c)^2 = 1 时，取得等号 。
此时， a c = 1 ,
对于 a + b + c = 1 / (a b c) 可化为 b + 1 = 1 / b ,
可化为 b^2 + b - 1 = 0 ,
显然 Δ > 0 , b1 b2 = - 1 < 0 ,
所以 可解得一个 b > 0 (因为 b1 b2 < 0 ,所以定有一b为正).
所以 (a + b) (b + c) 可取得最小值 2 。

Answer 2

（a+ b)(b+ c)=ab+ac+b^2+bc=b(a+b+c)+ac=b*1/abc+ac=1/ac+ac≥2

当且仅当ac=1时取得