Question

已知函数f（X）=㏑X，g（X）=a/X（a＞0）；设F（X）=f（X）+g(X).求函数F（X）的单调区间。

若以函数y=F（X）（X∈（0，3） ）图像上任意一点P（X。，y。）为切点的切线的斜率K≤1/2恒成立,求实数a的最小值。
追加分数。

Answer 1

F（x）=lnx+a/x
定义域x>0
F’（x）=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
令F’（x）>0，得(x-a)/x^2>0，解不等式得x>a
令F’（x）<0，得(x-a)/x^2<0，解不等式得x<a，结合定义域得0<x<a
所以F（X）的增区间为[a，+∞)，减区间为（0，a)

图像上任意一点P（xo，yo）为切点的切线的斜率为
k=F’（k）=(xo-a)/xo^2，依题意k≤1/2得，
(xo-a)/xo^2≤1/2，变形
a≥-0.5xo²+ xo
上式右边是一个二次函数，对一切xo∈（0，3）恒成立，则a必大于或等于右边二次函数的最大值。该二次函数的对称轴为x=1，在其对称轴处取得最大值0.5，所以
a≥0.5

Answer 2

F'(x)=1/x-a/x²=(x-a)/x²
定义域x>0
分母x²>0
a>0
所以x>a,x-a>0,F'(x)>0,F(x)是增函数
0<x<a,x-a<0,F'(x)<0,F(x)是减函数

综上
单调增区间，(a,+∞)
单调减区间，(0，a)

Answer 3

先求F(X)的导数，在函数定义域内，导数大于零的话就单调递增，导数小于零的话就单调递减。

Answer 4

先求F(X)定义域 x>0;
对F(X)求导
F'(X)=1/x-a/x^2
当F'(x)>=0 单增:[a,+无穷）
F（x)<0 单减 ：（0，a)

Answer 5

简单，子集 作