Question

一个关于二重积分的问题 119！！！

已知积分区域D={(x,y)|y≥0,x²+y²≤1,x²+y²≤2x},求二重积分∫∫xydxdy的值。 请务必写明解题过程，谢谢

Answer 1

转化成极坐标形式，则Drθ={(r,θ)|2cosθ≤r≤1,0≤θ≤π}

ps：x²+y²≤2x就是2cosθ≤r

则积分可转化为此形式

∫∫(D)xydxdy
=∫∫(Drθ)rcosθ*rsinθ*rdrdθ
=∫(0~π/2)sinθ*cosθdθ∫(2cosθ~1)r^3dr
=1/8∫(0~π/2)sin2θ(1-16(cosθ)^4)dθ
=1/8∫(0~π/2)(1/2)*(-2sin2θ)(4(cos2θ+1)^2-1)dθ
=1/8∫(0~π/2)(1/2)(4(cos2θ+1)^2-1)d(cos2θ)
=1/16*(1-29/3)
=-13/24

这题太恶心了orz

Answer 2

极坐标