Question

一道关于泰勒公式的证明题，步骤我看不懂是怎么来的

设f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,且f(0)=f(1),证明:
max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ (Ⅰ Ⅰ是绝对值号)
[0,1] [0,1]
利用泰勒公式可得
证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 ξ2∈(0, x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ<= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x02+ (1-x0)2]
<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

我就是想知道由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
接下来怎么就变成了

由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ<= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x02+ (1-x0)2]
<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

太突然了！！！！！！能帮我解决问题，追加30分 里面Ⅰ Ⅰ是绝对值号,我着急，没找到绝对值好，用这个代替了，另附图，不知道清楚否

Answer 1

证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0, x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ
f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,
所以 Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ<= 1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ( x0)^2+1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+ (1-x0)^2]
<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

这次能看懂了吧~~~~~~~~估计看不懂是不等式吧~~~~~~~~