Question

高二含绝对值不等式问题

设f(x)=根号下1+x^2 求证对于任意的a、b，a不等于b，都有|f(a)-f(b)|<|a-b|

Answer 1

|f(a)-f(b)| < |a-b| <=>
|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < |a-b| <=>
[√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| <=> 注：同乘以正数√(1+a^2) + √(1+b^2)
|(1+a^2) - (1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| <=>
|a-b|*|a+b| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| <=> 注：a不等于b，所以|a-b|是正数
|a+b| < √(1+a^2) + √(1+b^2)

最后不等式显然成立：利用√(1+x^2) > |x|，有√(1+a^2) + √(1+b^2) > |a|+|b| > |a+b|

Answer 2

构造法

在平面直角坐标系里 ，取3个点 A(0,1) B(a，0） C(b,0)
AB =根号下1+a^2 AC=根号下1+b^2 BC=|a-b|.
在△ ABC中 两边之差的绝对值小于第三边

∴当a≠b时 |f(a)-f(b)|<|a-b|