Question

在三角形ABC中，内角ABC对边的边长分别为a,b,c,c=2,C= 60度。若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积

Answer 1

sinC+sin(B-A)=2sin2A
sin[π-(A+B)]+sin(B-A)=2sin2A
sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A
sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A
2sinBcosA=2sinAcosA
cosA(sinA-sinB)=0
当cosA=0,即A=90°时
B=180°-90°-60°=30°
由正弦定理a/sin90=b/sin30=c/sin60
得 a=4√3/3,b=2√3/3
S=1/2absinC=2√3/3
当sinA=sinB时
A=B或A=π-B(舍去)
则A=B=60°
△ABC是等边三角形 a=b=c=2
S=√3/4*2^2=√3

Answer 2

对上式展开，C=180-(A+B) sinC=sin(A+B)
sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2*2sinAcosA
得：sinB=2*sinA,由正弦定理：b=2a
由余弦定理：cosC=(a的平方+b的平方-c的平方）/（2ab）=1/2
所以3*（a的平方）=4，a就求出来了，b也知道
S=1/2*ab*sinC即可（我不会打根号，见谅）