Question

中学同余问题~

有一个比1大的整数，它除318，286，210的余数恰为同一个正整数，问这个正整数是多少？
请大家帮忙解决一下！

Answer 1

既然除过以后余数都是同一个正整数，那么我们不妨把这三个数两两做差，那么得到的结果就等于把那个余数给减去了，而且得到的差可以被这个比1大的整数整除。
（如果我这样说还是抽象的话，可以假设这个正整数为a，除过以后的余数是b
那么三个数可以分别写成这样的形式，
318=xa+b,
286=ya+b
210=za+b
其中x y z都是整数，这三个式子其实就是除法的逆运算）
那么我们可以开始做差了
318-286=32=2*2*2*2*2
286-210=76=2*2*19
318-210=108=2*2*3*3*3
这样可以首先想到的是可以被2整除
但是由于原来的3个数用2除过之后是没有余数的，所以不对
从第二个式子可以看出，除了2以外，它只能被4和19整除。
因为19不能被32和108整除，所以这个数只能是4

所以，
318除以4=79余2
286除以4=71余2
210除以4=52余2

Answer 2

余数相同
则318-286，318-210，286-210能被这个数整数
318-286=32
318-210=108
286-210=76
所以这个数是32，108，76的公约数
他们的最大公约数是4，
4的约数有1，2，4
已知不等于1
若是2，则都能整出，余数是0，不符合余数是正整数
所以这个正整数是4