Question

曲线方程

已知动点M到A《2，0》的距离是它到点B《8，0》的距离的一半，求1动点M的轨迹方程 2 若N为线段AM的中点 求N的轨迹方程？

正方形中心为G《-1，0》，一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4 求正方形各边的直线方程

Answer 1

1.解：

   (1).设点M的坐标为(x，y).

       由题得，|MA|=1/2|MB|. 又A(2，0)  B(8，0).

       ∴有√[(x-2)²+y²]=1/2√[(x-8)²+y²].

       化简得，x²+y²-16=0

即：所求点M的轨迹方程为 x²+y²-16=0.

   (2). 由(1)中结论可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以4为半径长的圆.

        连结AM，取AM中点N. 设N(x，y)  M(x0，y0).

        ∵N为AM中点.  又∵A(2，0).

        ∴有x0-x=x-2  y0-y=y-0.

        即，x0=2x-2   y0=2y.

      又∵点M在圆x²+y²=16上

        ∴有x0²+y0²=16

        则有(2x-2)²+(2y)²=16.

        化简得，x²+y²-2x-3=0.

即：所求点N的轨迹方程为 x²+y²-2x-3=0.

2．由题可知，已知正方形边长为√14.4=6√10/5. 则已知正方形的对角线长为12√5/5.

   ∵G(-1，0)为正方形中心.

   ∴可如图所示（我发了一张图……）

   以G(-1，0)为圆心，以6√5/5为半径作圆G.

   由题可设直线l：y=3x+b交圆G于AB两点.

   设A(x1,y1)  B(x2,x2)   AB为所求正方形ABCD的一条边.

   则|AB|=6√10/5.

   联立{y=3x+b   (x+1)²+y²=36/5

   得，50x²10(3b+1)x+5b²-31=0.

   验证得，△＞0.

   则由韦达定理可得 x1+x2=-(3b+1)/5   x1•x2=(5b²-31)/50.

   又由交点弦长公式可得 |AB|=√{(1+3²)[(x1+x2)²-4x1x2]}.

 又∵|AB|=14.4

   ∴有14.4=10[(3b+1)²/25-(20b²-124)/50].

   化简得，b²-6b-27=0.

   ∴有， (b-9)(b+3)=0

   解得，b=9 或 -3

   ∴直线AB的方程为 y=3x+9.

     直线CD的方程为 y=3x-3.

   ∵BC⊥AB.且BC‖AD

   ∴可设直线BC的方程为 y=-1/3x+m

         直线AD的方程为 y=-1/3x+n.

   联立{y=3x+9  (x+1)²+y²=36/5.

   解得，A(-11/5，12/5)   B(-17/5，-6/5).

   ∴lBC：y=-1/3(x+17/5)-6/5.

     lAD：y=-1/3(x+11/5)12/5.

综上所述，所求正方形的各边所在直线方程分别为：

3x-y+9=0

5x+15y+35=0

3x-y-3=0

5x+15y-1=0.

（呵呵……好让人郁闷的问题啊……）