Question

已知x,y,z都是正数，且xyz=1，求证：xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)》6

Answer 1

左边=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
=1/z(x+y)+1/y(x+z)+1/x(x+y)
=x/z+z/x+y/x+x/y+z/y+y/z

因为x,y,z都是正数，x/z+z/x=
（√x/z-（√z/x）平方+2≥2
同理，y/x+x/y≥2，z/y+y/z≥2
所以x/z+z/x+y/x+x/y+z/y+y/z≥6

Answer 2

首先把xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)除以xyz(既1)仍然成立，就变为六个分数形式，利用a+b>=2（ab的开方），可得结果。