Question

已知圆C:x^2+y^2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线

已知圆C:x^2+y^2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=0的对称点都在圆C上，则（1/a）+（3/b）的最小值为

Answer 1

(-b/2,-a/2)在直线x+y+2=0上
所以 a+b=4
1/a+3/b=(b+3a)/ab=(4+2a)/ab
=(4+2a)/(4a-a^2)
令t=4+2a a=(t-4)/2
t/{2t-8-(t-4)^2/4}=4t/{8t-32-t^2+8t-16}
=4t/(-t^2+16t-48)
=4/{-t+16-48/t}
当 t=48/t 即t=4乘以根号3 {满足a=(t-4)/2>0}时 有最小值
4/(16-8根号3)=1-根号3/2

Answer 2

根号六

均值不等式 圆心在直线上

Answer 3

显然由题意知直线L过圆C的圆心（-b/2,-a/2),代入得a+b=4,则1/a+3/b=1/4（a+b）（1/a+3/b）=1/4（1+3a/b+b/a+3）≥1/4（4+2√3）由此得最小值