Question

高等数学三重积分的问题

在同济大学高等数学第六版三重积分教材中，计算∫∫∫z^2dxdydz，其中空间闭区域为椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1。
教材的接法用的是：
∫∫∫z^2dxdydz=∫(-c,c)z^2dz∫∫dxdy=πab∫(-c,c)(1-z^2/c^2)z^2dz
其中(-c,c)指的是积分上下限，我想知道最后一步是怎麼得出来的，最好能详细说明一下。

Answer 1

三重积分的计算分很多种情况：第一类，先一后二法（包括直角坐标和柱坐标）；第二类，先二后一法（就是你说的这个题目），这个方法的标志性特点是：被积函数只是关于z的函数，即：
f=f（z），积分I=∫f（z）S（z）dz，其中
S（z）为截面面积；第三类，球坐标。你那道题目用平行于xoy面得一个平面z=z0切该椭球切平面的范围自然是-c到c，z=z0时，截面是一个椭圆S=πab，所以将z=z0带入求出ab，反代回去得到S（z）=1-z^2/c^2，带入计算积分公式即可。

Answer 2

∫∫dxdy＝πab.（xoy平面上，椭圆面：x²/a²+y²/b²≤1的面积）

（积分区域是x²/a²+y²/b²≤1。被积函数是1.结果的数字＝面积。）

Answer 3

定积分的应用那一章，利用定积分计算面积的时候，有个例题就是计算椭圆的面积，定积分的面积等于πab，其中a,b是两个半轴的长