Question

已知椭圆的中心在原点，离心率为1/2，一个焦点是F(0,1)

1.求椭圆方程（Y型方程）
2.直线l过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量AB的比为2，求直线l的斜率

Answer 1

解：(1)：由F(1,0)可知，所求椭圆的焦点在y轴上.

   ∴可设所求椭圆的方程为 y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0).

   由题可知，c=1.

 又∵e=1/2

   ∴有e²=c²/a²=1/a²=1/4

   则,a²=4

   ∴b²=a²-c²=3.

即：所求椭圆方程为 y²/4+x²/3=1.

   (2)：如图(我发了一张图……)

   设A(x1,y1)  B(x2,y2).

   ∵F(0,1)∈AB

   ∴可设直线AB的方程为 y=kx+1.

   可知k≠0 ， 又可x1＜0,x2＞0.

   ∵向量AF：向量FB=1：2

   ∴有-2x1=x2   即 2x1+x2=0.

   联立{y=kx+1, 4x²+3y²=1.  得,(3k²+4)x²+6kx-9=0.

   由求根公式得, x1=[-3k-6√(k²+1)]/(3k²+4)

                 x2=[-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4).

 又∵2x1+x2=0

   ∴有[-6k-12√(k²+1)]/(3k²+4)+ [-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4)=0.

   化简得，5k²=4

   ∴k²=4/5.

   解得，k=2√5/5 或 -2√5/5

即：所求直线方程为 2√5x-5y+5=0 或

                   2√5x+5y-5=0.