Question

边长都为整数，最大边长为2009的三角形有多少个~？

请教各位，这道题是一道公务员考试行测真题，我知道网上有关于最大边长为11的算法，这个相当于它的变式，但我想请教的是，对于这种数字较大的时候是如何推算的呢~？有没有什么快速简捷的办法~？参加过行测考试的应该都知道时间是很紧张的，根本没有时间去慢慢推~如何才能尽量节省时间~~~请大家多多指点下哈~感谢！

Answer 1

最大边长为2009

其余两边≥1，≤2009
两边之和必须大于第三边
则中边（介于最长边与最短边之间的那条边）的长度需≥1005，≤2009

中边为1005时，另一边=1005～2009：1005种可能
中边为1006时，另一边=1004，1006～2009：1005种可能（去掉1005，因为前一次计数时已考虑进去）
中边为1007时，另一边=1003～1004，1007～2009：1005种可能（去掉1005、1006，因为前两次已经计数）

……
类推下去

中边为2009时，另一边=1～1004，2009：1005种可能

以上每种情况均为1005种可能，

因此，三角形总和=1005×(2009-1005+1)=1005×1005=1010025种。

（PS，网上最大边长11时，三角形个数=36=6×6，从中你应该可以发现规律？）

Answer 2

运用三角形两边之和大于第三边,不妨设其它两边为x,y,其中(0<x<=2009,0<y<=2009,x+y>2009,x,y都为整数),
之后其实用到的是数学的组合知识,
简单地写,不妨设第三边为n,三角形个数为m,
则m=n+(n-2*1)+...+(n-2*k)=n(k+1)-k(k+1)=(1+k)(n-k),其中k为小于n/2的最大整数(也可以这样表达,k=[n/2-0.5]),
所以当n=11时k=5,m=(1+5)*(11-5)=6*6=36
当n=2009时k=1004,m=(1+1004)*(2009-1004)=1005*1005=1010025

注:对这类题,只要调用公式,就可以解决了
m=(1+k)(n-k)其中n为最大边,k为小于n/2的最大整数
当n=4时,k=1,则m=(1+1)*(4-1)=2*3=6