Question

函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,

函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,
证明:f(x)在[a,b]上至少存在两个不同点m,n使得f(x)=0
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Answer 1

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定积分 是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分 加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么 g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0

打得密密麻麻，可能比较难看，抱歉！

Answer 2

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定积分 是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分 加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么 g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0

Answer 3

利用定积分的中值定理知道 f(x)在区间[a,b]的定积分值满足关系式 ∫f（x）dx = f（ε）（b-a） ，ε为位于[a,b]上的数，如果∫f（x）dx = f（ε）（b-a）= 0 ，那么必然就有 f（ε）= 0 。
xf(x)在[a,b]上的定积分为零，那么必然有 ∫xf（x）dx = ηf（η）（b-a）=0，η为位于区间 [a,b]上的数 ，于是 ηf（η）=0 ，于是有 η=0 或 f（η）=0 以后再补充
算了，不追加别的了，我剩下的思路和一楼的相同了。