Question

一道初二全等三角形数学题

AD平分<BAC，<BAC+<EDF=180度，求证：DE=DF
如图：http://hi.baidu.com/mxd0710/album/item/f14870a43662cedc9052ee14.html
答题规范者另加分！

Answer 1

证明：
作DM⊥AF于点M，DN⊥AE于点N
则∠MAN+∠MDN=180°
∵∠MAN+∠EAF=180°
∴∠MDN=∠EAF
∴∠MDN-∠MDE=∠EAF-∠MDE
即∠EDN=∠FDM
∵AD平分∠EAF
∴DM=DN
∵∠DMF=∠DNE=90°
∴△DFM≌△DNE
∴DE=DF

Answer 2

∵<BAC+<EDF=180°
∴<AFD+<AED=180°
∴即可以AD中点为圆心作圆
四个角都是圆心角
又∵AD平分<BAC
∴DE=DF

Answer 3

∵∠BAC＋∠EDF＝180°
∴∠AED＋∠AFD＝180°
若∠AED＝∠AFD＝90°，则有△AFD≌△AED，从而得DE＝DF
若∠AED≠∠AFD，则∠AED与∠AFD中必有一个钝角，而另一个是锐角
不妨设∠AED＞90°，∠AFD＜90°，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则M在AF上，而N在AE的延长线上
∴∠DEN＋∠AED＝180°
∴∠DEN＝∠AFD＝∠DFN
又由角平分线的性质知：DM＝DN
∴△DFM≌△DEN
∴DE＝DF

Answer 4

角平分线的性质：
过点D做DM，DN分别垂直于AB，AC，垂足分别是M，N，得DM=DN，由<BAC+<EDF=180度，<BAC+<MDN=180度可证<FDM=<EDN，可证三角形DMF和三角形DNE全等，全等的理由是ASA，所以DE=DF