Question

概率密度与分布函数的计算问题

本人放下书本有几年了，现在学习概率论与数理统计，以前学校学的都忘光了。现在对书本中的概率密度与分布函数甚是头疼，一头雾水啊。
已知概率密度求分布函数
已知分布函数求概率密度
不知哪位有比较典型的例题能演示一下两者相互求解的过程，谢谢了

Answer 1

0, x<0
1. F（x）= { x^2, 0<x<1
1, x>1
求X的密度函数？

解： 2x, 0<x<1
f(x)=F'(x)={
0, 其他
2. 设随机变量X具有密度函数
x/6, 0<x<3
f(x)={ 2-x/2 3<x<4
0, 其他
求X的分布函数F(x)
解：
当x<0 时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=0
当0<x<3时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，x）f(t)dt=∫(0，x）t/6dt=x^2/12
当3<x<4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，3）f(t)dt+∫(3，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，x）(2-t/2)dt=-(x^2)/4+2x-3
当x>4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，3）f(t)dt∫(3，4）f(t)dt+∫(4，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，4）(2-t/2)dt=1
即:
0, x<0
x^2/12, 0<x<3
F(x)={ -(x^2)/4+2x-3, 3<x<4
1, x>4

很简单易学， 当已知分布函数求密度时 只要对分布函数求导 ； 反之，已知密度积分即可求分布函数，但要记住，分布函数是个累计的过程，要积分完每个区间求和才可。

Answer 2

0,
x<0
1.
F(x)=
{
x^2,
0<x<1
1,
x>1
求X的密度函数?
解:
2x,
0<x<1
f(x)=F'(x)={
0,
其他
2.
设随机变量X具有密度函数
x/6,
0<x<3
f(x)={
2-x/2
3<x<4
0,
其他
求X的分布函数F(x)
解:
当x<0
时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x)f(t)dt=0
当0<x<3时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x)f(t)dt=∫(-∞，0)f(t)dt
+
∫(0，x)f(t)dt=∫(0，x)t/6dt=x^2/12
当3<x<4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x)f(t)dt=∫(-∞，0)f(t)dt
+
∫(0，3)f(t)dt+∫(3，x)f(t)dt=∫(0，3)t/6dt+∫(3，x)(2-t/2)dt=-(x^2)/4+2x-3
当x>4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x)f(t)dt=∫(-∞，0)f(t)dt
+
∫(0，3)f(t)dt∫(3，4)f(t)dt+∫(4，x)f(t)dt=∫(0，3)t/6dt+∫(3，4)(2-t/2)dt=1
即:
0,
x<0
x^2/12,
0<x<3
F(x)={
-(x^2)/4+2x-3,
3<x<4
1,
x>4
很简单易学，
当已知分布函数求密度时
只要对分布函数求导
;
反之，已知密度积分即可求分布函数，但要记住，分布函数是个累计的过程，要积分完每个区间求和才可。

Answer 3

0,x<0
1.F（x）={x^2,0<x<1
1,x>1
求X的密度函数？
解：2x,0<x<1
f(x)=F'(x)={
0,其他
2.设随机变量X具有密度函数
x/6,0<x<3
f(x)={2-x/23<x<4
0,其他
求X的分布函数F(x)
解：
当x<0时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=0
当0<x<3时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt+∫(0，x）f(t)dt=∫(0，x）t/6dt=x^2/12
当3<x<4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt+∫(0，3）f(t)dt+∫(3，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，x）(2-t/2)dt=-(x^2)/4+2x-3
当x>4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt+∫(0，3）f(t)dt∫(3，4）f(t)dt+∫(4，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，4）(2-t/2)dt=1
即:
0,x<0
x^2/12,0<x<3
F(x)={-(x^2)/4+2x-3,3<x<4
1,x>4
很简单易学，当已知分布函数求密度时只要对分布函数求导；反之，已知密度积分即可求分布函数，但要记住，分布函数是个累计的过程，要积分完每个区间求和才可。

Answer 4

分布函数↣求导↣密度函数
密度函数↣积分↣分布函数