Question

如何更好地理解一元二次方程的解法?

我数学基础很差.总觉得学不好.
希望有高人指教~
感激不尽.

Answer 1

1.配方法（可解部分一元二次方程）
2.公式法（可解部分一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
4.开方法（可解全部一元二次方程） 一、知识要点：
一元二次方程是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起重视。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的
方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以,此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7
∴(3x+1)²=7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
（2）解： 9x²-24x+16=11
∴(3x-4)²=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)
先将固定数c移到方程右边：ax²+bx=-c
将二次项系数化为1：x²+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )²=
当b²-4ac≥0时，x+ =±
∴x=...(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为1：x²-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-x+( )²= +( )²
配方：(x-)²=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成ax²+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当b²-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b²-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b²-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）
当b²-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当b²-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b²)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b²)i]/2a（两个共轭的虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b²-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0
(3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x²-4x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x²-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x²+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x²-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)²-9(x-3)²=0 （2）x²+2x-3=0
（3） x²-2 x=- （4）4x²-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x²-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)²-9(x-3)²=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x²+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x²-2 x=-
x²-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )²-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x²-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x²-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)²+5(x+1)(x-4)+2(x-4)²=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x²+px+q=0
解：x²+px+q=0可变形为
x²+px=-q (常数项移到方程右边)
x²+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+ )²= (配方)
当p²-4q≥0时，≥0（必须对p²-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p²-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x²-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x²-x=0 4. x²-4x+4=0
5. 3x²+1=2x 6. (2x+3)²+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x²-ax+-b²=0 2. x²-( + )ax+ a²=0
练习参考答案：
（一）1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x²-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x²-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是原方程的解。

Answer 2

一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形
式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是
一次项系数；c是常数项．
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解。
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.
公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出值；
4．因式分解法解一元二次方程： (1)因式分解法解一元二次方程：
将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法. (2)因式分解法算理：
(A、B至少一个为0)
(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. (4)常用因式分解法：
提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.
规律方法指导：
一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.
配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法

Answer 3

数学这种东西靠的是多练，多做一些习题

做顺手了，看到题目就大概知道怎么做了，

最笨的办法就是代入公式求解。

很多一元二次方程都可以因式分解

对数字敏感一点就能一下子想到因式分解。

多做多练，熟练了就上手！

加油！