Question

n阶行列式的计算

x a1 a2 … an-1 1
a1 x a2 … an-1 1
a1 a2 x … an-1 1
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. . . . . .
. . . . . .
a1 a2 a3 … x 1
a1 a2 a3 … an-1 1

上述行列式的计算，不管是详解还是思路都可以（详解最好）。速求解
不好意思，我没说清楚，最后一列是a（n-1），（n-1）是下标，前面的a1,a2中1、2也是下标

Answer 1

此题的解答方法很多，不知道你的专业的难度。
以下提供几种思路。

【解法一】
求此矩阵A的行列式|A|
A=B-E，矩阵B为所以元素为3
所以矩阵B的特征值为3n，0，0，...，0（n-1个0）
那么A的特征值为3n-1，-1，-1，...，-1（n-1个-1）
所以|A|=（3n-1）×(-1)^(n-1)
【评注】
此法是根据特征值与行列式直接的关系来求解

【解法二】
对于行列式|A|，对所有元素都减去3，得到 |-E|
|-E|的代数余子式之和ΣAij=n(-1)^(n-1)
由公式 得 |-E|-(-3)n(-1)^(n-1) = |A|
|A|=(-1)^n + 3n(-1)^(n-1) = (3n-1)×(-1)^(n-1)
【评注】
此法是根据行列式计算的公式来解答。
公式：
行列式D的所有元素加上一个数a得到新的行列式Da，Da的所有元素的代数余子式为ΣAij
那么D=Da-aΣAij

【解法三】
将行列式-1倍第1行加到各行，得到爪型行列式，根据爪型行列式的计算方法，口算得
行列式D=（3n-1）×(-1)^(n-1)

【评注】
此法是利用行列式性质，将行列式变成爪型行列式，然后从第n行开始将第1行元素化简为只有1个非零的元素，根据三角形行列式的计算法则，直接得到。

本题是行列式中最基本的题目，方法很多，可以从不同角度来分析计算。
需要扎实的基本知识。

newmanhero 2015年3月26日22:59:09

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

将最后一列乘于-an(n=1,2,...n-1)分别加到第n列，化为
x-a1 ............1
0 x-a2 .........1
0 0 ...........1
... x-an-1 1
0................0 1

Answer 3

最右边那一列分解开就行