Question

一道初中竞赛的几何题，急（如何通过构造全等三角形或者几何变换求证）

如下图，已知∠EBC=∠DCB=∠A/2，求证：CE=BD（别的条件没了）

如果图您看不清楚，就自己画一个，顶点A在上面，D在边AB上，E在边 AC上。如果回答不方便画图就把如何做辅助线，如何求证写清楚即可，不胜感激！！

Answer 1

证法一：作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
所以△BCF≌△CBG，
所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等边四边形。

证法二：以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
所以△BDC≌△CFB，
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，
所以∠ADC=∠CFE，
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
所以∠ADC=∠FEC，
所以∠FEC=∠CFE，
所以CF=CE，
所以BD=CE，
所以四边形DBCE是等边四边形。