Question

若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)×f(y)成立，且当x＜0时，f(x)＞1.

(1)求证：f(x)＞0.
(2)求证：f(x)为减函数.
(3)当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)×f(5)≤1/4.

Answer 1

1.
令y=0
f(x+y)=f(x)=f(x)·f(0)

[f(0)-1]·f(x)=0
x<0时，f(x)>1 f(x)≠0，要等式成立，只有
f(0)=1 /那个热心网友的回答一开始就错了，f(0)=1，而不是f(0)=0
令y=-x
f(x+y)=f(x)·f(-x)=f(0)=1>0
x<0时，-x>0
f(x)>1>0，又f(x)·f(-x)>0，要不等式成立，只有f(-x)>0，即x>0时，f(x)>0
综上，得f(x)>0
2.
令y=△x △x>0
f(x-△x)=f(x)·f(-△x)
△x>0 -△x<0 f(-△x)>1，又f(x)>0，因此f(x)·f(-△x)>f(x)
f(x-△x)>f(x)，函数是单调递减函数。
3.
f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=[f(2)]²=1/16
f(x)>0 f(2)>0
f(2)=1/4
f(x-3)·f(5)≤1/4

f(x-3+5)≤f(2)
f(x+2)≤f(2)
函数是减函数，x+2≥2
x≥0

Answer 2

f(x y)=f(x) f(y),

令x=y=0,则：f(0 0)=f(0) f(0),得：f(0)=0
令y=-x,则： f(x-x)=f(x) f(-x)
f(x) f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
函数为奇函数，关于原点对称，因x>0时，f(x)<0,f(x)<f(0),所以，函数为减函数。

f(4)=-1/8 , f(4) f(4)=-1/4,f(4 4)=-1/4,f(8)=-1/4, f(-8)=1/4

f(x-4) f(2-x²)=f(x-4 2-x²)

根据题中已知和减函数的性质，即求：x-2-x²>=-8

即 x²-x-6<=0

-2<=x<=3