Question

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是

A．A的列向量组线性相关
B．A的列向量组线性无关
C．A的行向量组线性相关
D．A的行向量组线性无关

请问为什么是列向量线性相关 而不是行向量线性相关呢
行向量线性相关 与 列向量线性相关有什么区别呢

Answer 1

线性方程组 AX=0 有非零解
<=> r(A)<n (n为A的列数)
<=> A 的列早蚂向量组线性相关

行向量组的秩与列向量组的秩相等
但行向量的伸缩性比较大宴正
比如将1,2行相加构成一个新的行, 所得方程组与原方程组同解
所以判断方程组解的存在性时一般考虑列向量组
另外, 当 r(A)<n (未知量的个陆祥埋数)时, 有自由未知量 (n-r(A)个), 所以有非零解

Answer 2

行列式等于零（不等于零）是齐次线性方程组有非零解（只有零解）的充分必要条件，也即秩r<灶慎如n
m表示的是方程的个数，n表示的是未知数的的个数。秩可以用矩阵行变换后最简型的阶数来确定，隐启这个确定秩的过程实际上也是浓缩方程个数的过程，如果秩的个数小于未知数的个数，或者说方程的个数小于未知数的个数，显然要有很多解，那么就存在非零解。孝喊那么显然就是列向量线性相关了