Question

若幂级数an(x-1)^n=-1处收敛 在x=3处发散 则该级数的收敛半径 急求解题方法！！！

Answer 1

根据比值法
设Un=an (x-1)^n
Un+1=an+1 (x-1)^(n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |an+1 (x-1)^(n+1)/an (x-1)^n|
=lim |x-1| |an+1/an|
=R|x-1|＜1
收敛区间
|x-1|＜1/R
-1/R +1＜x＜1/R +1
要满足0＜x＜2，则R≤1
而当x=0时收敛，x=2时发散
收敛域为[0，2)
所以收敛半径为R=1

Answer 2

幂级数 ∑an(x-1)^n 在 x=-1 处收敛， 在 x=3 处发散， 则
幂级数 ∑anu^n 在 u=-2 处收敛， 在 u=2 处发散。收敛半径 R=2

追问

可以说详细点吗？不太明白 为什么∑an(-2)^n 收敛 ∑an(2)^n发散 就可以判断啊

追答

是你题目给定的条件啊！
举例说吧。幂级数 ∑x^n/n，
当 x=1 时是正项级数 ∑1/n ，是 p=1 时p-级数，发散。
当 x=-1 时是交错级数 ∑(-1)^n/n ，收敛。这种收敛叫条件收敛。
收敛半径 R=1， 收敛域 x∈[-1,1).
该例与你题中所说的类似（题中没有给出具体级数, 无法具体说明）。