Question

若函数f(x+a/x-3)在[2,+无穷)上单调递增,求正实数a的取值范围

已知f(x)= 2^x其反函数为f-1(x),
1)若关于x的方程f-1(ax)*f-1(ax^2)=f-1(16)的解都在(0,1)内，求实数a的取值范围
2）若函数f-1(x+a/x-3)在[2,+无穷）上单调递增，求正实数a的取值范围

Answer 1

以下尖括号内括的是底数。
1、f-1(x)=log<2>(x)
由已知f-1(ax)*f-1(ax^2)=f-1(16)，保证真数为正数，有a>0，式子变形得
log<2>(ax)* log<2> (ax^2)= log<2> (16)
[ log<2>(a) +log<2>(x) ]* [ log<2> a +2log<2>(x) ]= 4
令t= log<2>(x)，因为x∈(0，1)，所以t∈(-∞，0)，上式变为
[ log<2>(a) +t ]* [ log<2> a +2t ]= 4
2t²+3tlog<2>(a)+ log²<2>(a)-4=0
因为上方程的解t∈(-∞，0)，即t1<0，t2<0，从而有
判别式△=[ 3*log<2>(a)] ²-4*2*[ log²<2>(a)-4 ]≥0 …………①
由韦达定理得
t1+t2 <0，t1*t2 >0即
-[ 3*log<2>(a) ]/2<0 …………②
[ log²<2>(a)-4 ]/2>0 …………③
①②③联立并结合a>0，解不等式组得
log<2>(a) >2，也即a>4。
所以实数a的取值范围是a>4。

2、因为f-1(x)=log<2>(x)
所以函数f-1(x+a/x-3)= log<2>( x+a/x-3)
因为已知a>0，所以x只能为正，不能取负，否则真数小于0。
log<2>( x+a/x-3)与( x+a/x-3)单调性是一致的，依题意可知
( x+a/x-3) 在[2，+∞）上单调递增，

令g(x)=x+a/x-3 （x>0，y>0）
则g(x)是由勾函数x+a/x的右支向下平移3个单位得到的，所以是个勾函数在第一象限的部分，这样图像会出现两种情况：
（1）若图像完整，则g(x)在x∈(0，√a]上单调递减，在x∈[√a，+∞)上单调递增，在x=√a时，勾函数处于最低点。所以
g(√a)= 2√a-3≥0，且依题意有2≥√a，解这个不等式组得9/4≤a≤4。
（2）若图像不完整，被x轴截去下部，只剩两只爪，令g(x)=0以求图像与x轴的两个交点，得x+a/x-3=0，即x²-3x+a=0，则有
△=9-4a>0 …………①
x=0.5[3±√(9-4a)]
g(x)在x∈(0，0.5[3-√(9-4a)]]上单调递减，在x∈[0.5[3+√(9-4a)]，+∞)上单调递增，依题意有
2≥0.5[3+√(9-4a)] …………②
解①②组成的不等式组得2≤a<9/4。

（1）（2）的结果取并集，得到正实数a的取值范围为2≤a≤4。

Answer 2

不会

Answer 3

EQ