Question

已知焦点在x轴上,中心在坐标原点的椭圆的离心率为4/5,且过点((10根号2)/3,1).

已知焦点在x轴上,中心在坐标原点的椭圆的离心率为4/5,且过点((10根号2)/3,1).直线l分别切椭圆C与圆M:x^2+y^2=R^2(其中3<R<5)于A，B两点，求|AB|的最大值这是已求得的椭圆方程 x�0�5/25+y�0�5/9=1请教大家为什么垂直于y轴时有最大值。椭圆与圆是同心的啊，直线怎么可能与他们同时相切？？

Answer 1

因3<R<5 ，即R介于椭圆的a，b之间，故有公共外切线，而且对确定的R值，有一|AB|的最大值，与垂直于y轴时有最大值无关 。设直线 y+KX+b ，与已求得的椭圆方程 x^2/25+y^2/9=1 联立得 （9+25K^2)X^2 +50bKX+25b^2-225=0 ,因相切, △=0 , 得 b^2=25K^2+9 ------------(1) 切点 A(X)= -25bK/(9+25K^2) ,直线 y+KX+b ，与圆 x^2+y^2=R^2 联立得 (1+K^2)X^2+2bKX+b^2-R^2=0 , 因相切, △=0 , 得 b^2=R^2(1+K^2) ---------(2) 切点 B(X)= -bK /(1+K^2) , 于是 |AB| = | A(X) -B(x) | *√(1+K^2) = 16bK *√(1+K^2) /(1+K^2)(9+25K^2) ,(1)(2)式代入上式 ,经化简整理得 |AB|= √(-R^4+34R^2-225) /R 当 R^2=17 时 |AB| max= 8√17/17≈1.940285 [ 此时,圆方程 X^2+y^2=17 ,直线 K=±1 ,b=±√34 ,直线 L : y=±X ±√34 ]