Question

求广义积分的值

Answer 1

你好！

是发散的

如图，只有第3项的极限是存在的，其余都不存在

追问

第二项极限也存在呀，另外，怎么保证第一项与第四项不会抵消？

追答

嗯 第二项也存在

上面写的不准确

重新写一下，如图（注意左右极限）

第一项和第四项都是趋于正无穷

第二、三项为0

附个函数图像更清楚些

可以看到函数图像趋近x=1的速度是很慢的，所以面积是无穷大

趋于坐标轴的部分则很快，面积是有限的

[0,m]（0<m<1）和 [n,+无穷) （n>1）这两个区间的反常积分都是收敛的

追问

谢谢，解答很详细

Answer 2

原式=lim[ε1-->0+][ε2-->0+]∫[0+ε1,1-ε2](lnx)^(-2)dlnx+lim[ε3-->0+][b-->+∞]∫[1+ε,b](lnx)^(-2)dlnx
=lim[ε1-->0+][ε2-->0+][-(lnx)^(-1)]|[0+ε1,1-ε2]+lim[ε3-->0+][b-->+∞][-(lnx)^(-1)]|[1+ε,b]
由于ε2、ε3的独立性，所以广义积分发散。

Answer 3

发散   奇点x=1

故发散