Question

已知离心率为√2/2的椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点F

已知离心率为√2/2的椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点F是圆(x-1)²+y²=1的圆心,过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点。

（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标。

Answer 1

c=1 e=c/a=√2/2 a=√2 b=√（a²-c²）=1 椭圆的方程x²/2+y²=1
设M,N坐标为(0,m),(0,n),并设PM的斜率为k，则PM所在直线方程为y=kx+m，带入圆(x-1)²+y²=1
可得到（1+k²）x²+（-2+2km)x+m²=0 因直线和圆相切，可得到Δ=（-2+2km）²-4(1+k²）m²=0
解得k=（1-m²）/(2m) 类似求得PN直线的斜率为（1-n²）/(2n),
通过直线PM和PN求到P点坐标为xp=2mn/(mn+1) yp=(m+n)/(mn+1) 因其在椭圆上，带入可得到
2（mn）²+（m+n）²=（mn+1）² 得到 m²n²+m²+n²=1 n²=（1-m²）/(1+m²）
m固定是，n有两个值，要是MN尽可能大，需m，n一正一负，不妨设m>0,n取-√（1-m²）/(1+m²）
MN距离为 m+√（1-m²）/(1+m²） 用求导可得到m=√（√2-1） n=-m时mn达到其最大值2√（√2-1）
此时P点坐标为（-√2,0）即椭圆左端点。

追问

求导我们还没有学

追答

最终转换为求m为0到1之间 m+√（1-m²）/(1+m²） 的最大值。没学求导是没法做。还是返回到原来的做法吧，设P点坐标为（xp，yp），PM斜率为k1,PN斜率k2,那么M点纵坐标为yp-k1xp,N点纵坐标为yp-k2xp,那么MN=|(k1-k2)xp|
将一般过P点直线方程 k(x-xp)-y+yp=0 ，若其和圆相切，其和圆心（1,0）的距离为半径1
则有 |k(1-xp)+yp|/√(k²+1)=1 即 k²+1=[k(1-xp)+yp]²
整理得 （xp²-2xp）k²+2yp（1-xp)k+yp²-1=0
知k1，k2为此方程的两个解 ,那么 k1+k2=-2yp（1-xp)/（xp²-2xp） k1k2=(yp²-1)/（xp²-2xp）
那么 MN²=(k1-k2)²xp²=[(k1+k2)²-4k1k2]xp²=4(yp²-2xp+xp²)/(-2+xp)²
将yp²=1-xp²/2 代入 可得 MN²=2(xp²-4xp+2)/(2-xp)²=2-4/(2-xp)²
可知道xp²-4xp+2=(xp-2)²-2≥0 结合yp²=1-xp²/2≥0 的xp的范围为-√2到2-√2
在此范围类MN²=2-4/(2-xp)²≤2-4/(2+√2)²=2-4/(6+4√2)=2-(6-4√2)=4√2-4=4（√2-1）

所以MN最大值为2√（√2-1）

取最大值时xp=-√2 P点坐标为（-√2,0）即椭圆左端点。

Answer 2

第一问容易不多说.
第二问,设P坐标(m,n),再设出切线方程,设此切线斜率为K,由于是切线,用圆心到切线距离=半径,可解出关于K的二次函数.
不要解方程,写出K的韦达定理.
我们求的MN,是那个切线方程与Y轴的交点形成的,斜率分别是K1和K2时与Y轴的交点,MN=y1-y2,解出来发现是一个关于K1-K2的函数,再用韦达定理表示出K1-K2,此时变量只剩下m和n,再用椭圆方程消去n(n变量存在形式都是n平方),此时只剩一个变量m,此时可求最大值了,结果应该是个分式型的.