行列式
在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
行列式的基本性质
n阶行列式的性质：
性质1：行列式与他的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论：若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。
性质3：行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。
推论：行列式中有两行（列）元素对应成比例时，该行列式等于零。
性质4：行列式具有分行（列）相加性。
推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。
性质5：行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。[2]
其它性质
若A是可逆矩阵， 设A‘为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。
行列式的展开
余因式(英译：cofactor)
又称“余子式”、“余因子”。参见主条目余因式对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n-1阶的行列式叫做M关于元素mij的子式。记作Mij。
余因式为 Cij=（-1）^(i+j)*Mij
代数余子式
在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij：记
Aij=（-1）i+j Mij
Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式
行和列的展开
一个n阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。
这个公式又称作拉普拉斯公式，把n阶的行列式计算变为了n个n-1阶行列式的计算。
行列式函数
由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。
单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为
矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。
函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为
也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度
特别当A为单位矩阵时，
可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。
|
广告 您可能关注的内容 |
