Question

初一数学题，80分，急

在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小。要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如果直线上有2台机床时，很明显P设在两台机床之间的任何地方都行；如果直线上有三台机床，则P应设在中间一台机床最合适。
2）如果有n台机床，P应设在何处？（3）求 的最小值
看不懂最后一楼的？95172怎么来的？

Answer 1

在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：

如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离.

如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择.

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置.

问题⑴：有n台机床时，P应设置在何处？

问题⑵：根据问题⑴的结论,求｜x－1｜+｜x－2｜+｜x－3｜+…+｜x－617｜的最小值.

解：⑴当n为偶数时，P应设在第台和（）台之间的任何地方

当n为奇数时，p应设在第台的位置

⑵根据绝对值的几何意义，求｜x－1｜+｜x－2｜+｜x－3｜+…+｜x－617｜的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小

最小值是：｜309－1｜+｜309－2｜+｜309－3｜+…+｜309－308｜+0+｜309－310｜+｜309－311｜+…+｜309－311｜＋+｜309－616｜+｜309－617｜

＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95 172

Answer 2

解：（1）当n为偶数时，P应设在第n2台和（n2+1）台之间的任何地方，
当n为奇数时，P应设在第n+12台的位置．

（2）根据绝对值的几何意义，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-617|的最小值
就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308=95172．

Answer 3

(n＋1)/2的位置

Answer 4

：⑴当n为偶数时，P应设在第台和（）台之间的任何地方

当n为奇数时，p应设在第台的位置

⑵根据绝对值的几何意义，求｜x－1｜+｜x－2｜+｜x－3｜+…+｜x－617｜的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小

最小值是：｜309－1｜+｜309－2｜+｜309－3｜+…+｜309－308｜+0+｜309－310｜+｜309－311｜+…+｜309－311｜＋+｜309－616｜+｜309－617｜

＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95 172

Answer 5

设放在第K台处，总距离S，
有第一台的距离=K-1，第二台=K-2……第K-1台=1，第K台=0，第K+1台=1，……
第N台=N-K，
所以S=(1+k-1)*(k-1)/2+(1+n-k)*(n-k)/2
=(n^2+2k^2-2nk+n-2k)/2
=[(n-k)^2+(k-1)^2+n+1]/2
又(n-k)^2+(k-1)^2>=2（n-k）*(k-1),当且仅当n-k=k-1时成立，
则S最小时，2k=n+1,
所以，当N为奇数时，K=（n+1）/2,此时S最小=（n^2-4n+11）/4
当N为偶数时，K=n/2或n/2+1,此时S最小=（n^2+n+2)/4

Answer 6

将n个机床看成n个点X1,X2,....Xn
当n=2k+1时
P设在Xk+1处最好,当P向左移动距离d,此时在p右边的点有k+1个,P到这些点的距离增加了(k+1)d,在p左边的点有k个,P到这些点的距离减少了kd,所以总共增加了距离d,当P向右移动情况相同,所以P设在Xk+1处最好,距离最小值为(XnX1+Xn-1X2
+...+XkXk+2)
当n=2k时
P设在Xk,Xk+1之间最好,证明同以上讨论,距离最小值为(XnX1+Xn-1X2
+...+XkXk+1)