证明不等式:1/(x+1)<ln(1+x)-ln(x)<1/x (x>0)
1个回答
展开全部
证明：令1/x=t x=1/t (t>0)
则 等价求证：t/(1+t)<ln(1+1/t)<1/t
设f(t)=t/（1+t）-ln(1+t) t>0
f'(t)=1/(1+t)²-1/（1+t）=-t/(1+t)²<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0
∴t/(1+t)-ln(1+t)<0 t/(1+t)<ln(1+t)
同理 设f(t)=ln(1+t) -t t>0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0 ln(1+t)-t<0
∴ln(1+t)<t
综上 t/(1+t)<ln(1+t)<t
∴x/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x
则 等价求证：t/(1+t)<ln(1+1/t)<1/t
设f(t)=t/（1+t）-ln(1+t) t>0
f'(t)=1/(1+t)²-1/（1+t）=-t/(1+t)²<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0
∴t/(1+t)-ln(1+t)<0 t/(1+t)<ln(1+t)
同理 设f(t)=ln(1+t) -t t>0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0 ln(1+t)-t<0
∴ln(1+t)<t
综上 t/(1+t)<ln(1+t)<t
∴x/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
