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考虑 AB之间的电阻。注意到长方体关于平面ABC是对称的，所以对称的点电势应该相等，借Bourne_Lu的图来说，即
U2=U3，
U5=U6，
U9=U10
不妨用导线把这3对点分别连起来。这就相当于把整个立方体拍扁到平面ABC上了，得到一个“田”字形的网格。这个网格上下两边上每一小段是2r，其余各小段都是2个2r的电阻并联，所以电阻是2r/2=r.
中心记为点O，假设在A，B分别加电压U和-U，则由对称性知O点的电压是0，设“田”字左边中点为D，上边中点为E，它们的电压分别为UD, UE，则由4条支路上的电流在D,E处满足的关系可列方程：
(U-UD)/r =(UD-0)/r + (UD-UE)/(r+2r)
(UE-(-U))/(2r) =(UD-UE)/(r+2r)+(0-UE)/r
消去r并稍加整理，得
3U=7UD-UE
3U=2UD-11UE
从而可解出
UD =2U/5
UE =-U/5
于是从A发出竖直向上的电流I1和水平向右流入B的电流I2分别是
I1 = (U-UD)/r =3U/(5r)
I2 = (UE-(-U))/(2r) =2U/(5r)
注意到图形的旋转对称性，从A发出的水平向右的电流跟I2相等，所以从A发出的总电流
I = I1+I2 = U/r
故而总电阻
R = (U-(-U))/I = 2r
U2=U3，
U5=U6，
U9=U10
不妨用导线把这3对点分别连起来。这就相当于把整个立方体拍扁到平面ABC上了，得到一个“田”字形的网格。这个网格上下两边上每一小段是2r，其余各小段都是2个2r的电阻并联，所以电阻是2r/2=r.
中心记为点O，假设在A，B分别加电压U和-U，则由对称性知O点的电压是0，设“田”字左边中点为D，上边中点为E，它们的电压分别为UD, UE，则由4条支路上的电流在D,E处满足的关系可列方程：
(U-UD)/r =(UD-0)/r + (UD-UE)/(r+2r)
(UE-(-U))/(2r) =(UD-UE)/(r+2r)+(0-UE)/r
消去r并稍加整理，得
3U=7UD-UE
3U=2UD-11UE
从而可解出
UD =2U/5
UE =-U/5
于是从A发出竖直向上的电流I1和水平向右流入B的电流I2分别是
I1 = (U-UD)/r =3U/(5r)
I2 = (UE-(-U))/(2r) =2U/(5r)
注意到图形的旋转对称性，从A发出的水平向右的电流跟I2相等，所以从A发出的总电流
I = I1+I2 = U/r
故而总电阻
R = (U-(-U))/I = 2r
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追问
长方体关于平面ABC是对称的？不是吧。还整个立方体拍扁到平面ABC上了，得到一个“田”字形的网格。这个能否解释下，谢谢
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你想象一根横截面是正方形的木头立在地上，沿着正方形的一条对角线用斧头劈开，劈成的两半是不是一模一样？所以说长方体关于ABC是对称的，这个ABC就是用斧头劈开的那个面。
既然是对称的，当电源接在对称轴上时（我们的问题里是接在A,B），对称性不会被破坏，所以对称点的电势就是相等的，中间连一根导线对电路没有影响，例如标U2处叫做D1, 标U3处叫做D2，这两点是对称的，所以U2=U3，可以把D1和D2用导线连起来，也就是说D1, D2在电路中可以看成同一个点D，D和C之间有两条并联的线路CD1和CD2，它们的电阻都是2r，并联之后可以看成一条线路CD，线路上的电阻是r，类似的AC之间的电阻也是r，这样就把正方形A-D1-C-D2"拍扁"成了一条直线A-D-C，其中AD和DC上的电阻都是r
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特别特别强调，我的答案是每条边的电阻是R，,不是2R。
点击图片，可以放大。
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不对，答案是2R
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追问
列这么多式子不知道什么意思
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