Question

判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性

判别级数∑（n+1）/2^n的敛散性，求和范围1-n
求和范围1到n

Answer 1

　　利用比值判别法可判别该级数收敛。为求和，作幂级数
　　　f(x) = ∑{n>=0}(n+1)x^n，|x|<1，
积分，得
　　　∫[0,x]f(t)dt
　　= ∑{n>=0}(n+1)∫[0,x](t^n)dt
　　= ∑{n>=0}x^(n+1)
　　= 1/(1-x) - 1，|x|<1，
求导，得
　　　f(x) = 1/(1-x)^2，|x|<1。
因此，
　　　∑{n>=0}(n+1)(1/2)^n = f(1/2) = ……

Answer 2

级数∑n/2^n可用比值判别法收敛

级数∑1/2^n是公比1/2的等比级数收敛
所以：级数∑(n+1)/2^n收敛