Question

高中数学，导数问题。高手进来答。

当x≠0时，求证e^x>1+x。

请给出详细步骤。谢谢。

Answer 1

设f（x）=e^x-x-1

f(x)'=e^x-1

当f(x)'=0,x=0

当x<0,f(x)'<0,x>0,f(x)'>0

所以f(x)先减后增

在x=0处取得最小值.

f(x)min=f(0)=0

因为x不等于0

所以f(x)>0

e^x>1+x

Answer 2

设f(x)=e^x-x-1
令f′(x)=e^x-1=0，得x=0
∵当x>0时，f′(x)>0
∴当x>0时，f(x)严格单调递增
∴f(x)>f(0)
∵f(0)=0
∴e^x-x-1>0
故e^x>1+x