Question

用初等变换判断下列矩阵是否可逆,如可逆,求其逆矩阵

(1,0,0 ;1,2,0 ; 1,2,3) 和 (3,2,1 ;3,1,5; 3,2,3)

Answer 1

一、(A,E) =

3 2 1 1 0 0

3 1 5 0 1 0

3 2 3 0 0 1

r2-r1,r3-r1

3 2 1 1 0 0

0 -1 4 -1 1 0

0 0 2 -1 0 1

r1*(1/3),r2*(-1),r3*(1/2)

1 2/3 1/3 1/3 0 0

0 1 -4 1 -1 0

0 0 1 -1/2 0 1/2

r1-(1/3)r3,r2+4r3

1 2/3 0 1/2 0 -1/6

0 1 0 -1 -1 2

0 0 1 -1/2 0 1/2

r1-(2/3)r2

1 0 0 7/6 2/3 -3/2

0 1 0 -1 -1 2

0 0 1 -1/2 0 1/2

左边化为单位矩阵E,所以A可逆,且 A^-1 =

7/6 2/3 -3/2

-1 -1 2

-1/2 0 1/2

二、1 0 3 1

0 1 6 2

0 0 3 1

1 -1 0 0

第二列 + 第一列

1 1 3 1

0 1 6 2

0 0 3 1

1 0 0 0

第一行 - 第四行

0 1 3 1

0 1 6 2

0 0 3 1

1 0 0 0

第二行 - 第一行

0 1 3 1

0 0 3 1

0 0 3 1

1 0 0 0

第三行 - 第二行

0 1 3 1

0 0 3 1

0 0 0 0

1 0 0 0

出现全零行，因此，不可逆。

扩展资料：

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

参考资料来源：百度百科-逆矩阵

Answer 2

首先把原矩阵右边接上单位矩阵
1 0 0 1 0 0
1 2 0 0 1 0
1 2 3 0 0 1
然后进行转化，第二行减去第一行，第三行减去第二行
1 0 0 1 0 0
0 2 0 -1 1 0 0 1 0 -1/2 1/2 0
0 0 3 0 -1 1 0 0 1 0 -1/3 1/3
所以逆矩阵就是

1 0 0
-1/2 1/2 0
0 -1/3 1/3
另外一题也是一样的步骤。
首先把原矩阵右边接上单位矩阵
3 2 1 1 0 0
3 1 5 0 1 0
3 2 3 0 0 1
然后进行转化，第三行减去第一行，第三行减去第二行
3 2 1 1 0 0
0 1 -2 0 -1 1
0 0 1 -1/2 0 1/2
第二行加上2倍第三行
3 2 1 1 0 0
0 1 0 -1 -1 2
0 0 1 -1/2 0 1/2
第一行减去2倍第二行1倍第三行
1 0 0 7/6 2/3 -3/2
0 1 0 -1 -1 2
0 0 1 -1/2 0 1/2
逆矩阵为
7/6 2/3 -3/2
-1 -1 2
-1/2 0 1/2

望采纳