Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD， 且PA

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，
且PA=AD=DC=1，AB＝2，M是PB的中点。

（1）证明：面PAD⊥面PCD
（2）求AC与PB所成的角的余弦值
（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值

Answer 1

1、因为AB//CD，角DAB=90度，所以角ADC=90度，所以CD垂直AD，又PA垂直ABCD，所以PA垂直CD，所以CD垂直平面PAD，因为CD在平面PCD中，所以平面PCD垂直平面PAD；
2、做BC中点为N，PC中点为E，AB中点为F，AC中点为Q；连接EQ、FQ、EN、EF、FN，有FN//AC，EN//PB；
所以角ENF就是AC与PB所成的角，通过EQ和FQ求出EF，EN是PB的一半，FN是AC的一半，知道三角形ENF的3边长，就可以用余弦定理求出角ENF的余弦值了，经计算，余弦值为5分之根号10；
3、因为AC=根号2，BC=根号2，AB=2，所以AC垂直BC，又PA垂直BC，所以BC垂直平面APC，过A点做AG垂直于PC交PC于G，那么AG垂直于BC，所以G为A点在平面BCM上的投影，面AMC与面BMC所成二面角的余弦值，即为三角形GMC的面积除以三角形AMC的面积，经计算，余弦值为6分之根号6除以4分之根号6=2/3。

Answer 2

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD2:求AB与面AMC所成角的正弦值