Question

已知f(x)=sinwx+sin(wx+π/2),w>0,且函数f(x)最小正周期为2π

(1)求f(x)最大值；
(2)若a属于(0,π)且f(a)=3/4,求cosa.
过程若详细，给高分。

Answer 1

sin(wx+π/2)=coswx
f(x)=sinwx+coswx
=√2(sinwx*√2/2+coswx*√2/2)
=√2sin(wx+π/4)
T=2π
∴w=1,f(x)最大值=√2
f(x)=√2sin(x+π/4)=sinx+cosx

f(a)=sina+cosa=3/4
sin²a+cos²a=1 (sina,cosa平方和=1)
(sina+cosa)²-2sinacos=1
2sinacosa=9/16-1=-7/16
sinacosa=-7/32
sina,cosa为二次方程x²-3x/4-7/32=0
(x-3/8)²=7/32+9/64=23/64
x=(3±√23)/8
a属于(0,π), ∴cosa>0,舍负根，负根为sina的值
∴cosa=(3+√23)/8

Answer 2

f(x)=sinwx+sin(wx+π/2)
=sinwx+coswx
=√2sin(wx+∏/4)
最小正周期为2π，所以T=2π=2π/w，所以w=1
f（x）=√2sin（x+∏/4）
解
（1）当sin（wx+∏/4）=1时，f（x）有最大值，为√2
（2）f（a）=√2sin（a+∏/4）=3/4
a属于(0,π)，所以：a+∏/4属于（∏/4，5∏/4）

sin（a+∏/4）=3√2/8

cos（a+∏/4）=√46/8

cosa=cos（【a+∏/4】-∏/4）=cos（a+∏/4）【√2/2】+sin（a+∏/4）【√2/2】

=√46/8*（√2/2）+3√2/8*（√2/2）
=√92/16+6/16
=√92+6/16

Answer 3

f(x)=sinwx+sin(wx+π/2)=sinwx+coswx=√2sin（wx+π/4）
函数周期T=2π
故w=1
f（x）=√2sin（x+π/4）
f（x）最大值是√2
（2）f（a）=3/4
故sina+cosa=3/4 有a属于（0,π）
sin^2a+cos^2a=1
解出cosa=（6-5√2）/8