Question

求解这道填空题答案

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，C的离心率为√3/3，点P是C上一点，PF1与y轴的交点为M，O为坐标原点，若 |PF1| - |PF2|=2/3a,则 |OM|: |F2P|=

Answer 1

答
椭圆
|PF1|+ |PF2|=2a
|PF1| - |PF2|=2a/3
解得
|PF1|=4a/3
|PF2|=2a/3
∵e=√3/3
∴c/a=√3/3
a=√3c
F1F2=2c
|PF1|^2=16a^2/9=16c^2/3
|PF2|^2=4a^2/9=4c^2/3
|F1F2|^2=4c^2
∵|PF1|^2=|PF2|^2+|F1F2|^2
∴∠PF2F1=90°
∴PF2⊥x轴
∴|OM|: |F2P|
=|OF1|:|F1F2|
=1:2(相似三角形）

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